Оформили договор купли-продажи (хоть через фирму, хоть в простой рукописной форме - распечатав из интернета и аккуратно, без исправлений заполнив) . Прежний владелец должен расписаться в ПТС как прежний собственник. Вам самому можно не вписываться - впишут при постановке на учет. Если в прежнего владельца есть действующий талон ТО или ДК, пусть отдаст Вам. Всё - далее вы всё делаете сами. Сначала нужно оформить страховку ОСАГО (для нее нужен действующий талон ТО или ДК - если нет, то сначала пройти техосмотр) . Потом с паспортом, ПТС, ДКП, страховкой, квитанциями об оплате госпошлин и авто - в отделение на регистрацию.
Срок постановки на учет - 10 дней с даты оформления ДКП.