Смотрите, в каких значениях они синонимы, а в каких нет (например, вы можете сказать вместо разговорного "починить" карандаш - "отремонтировать" карандаш?) :
Большой толковый словарь:
ОТРЕМОНТИРОВАТЬ –
1.Произвести ремонт чего-л. ; поправить, починить что-л. Отремонтировать двигатель, автомобиль.
2. Шутл.
Лечением восстановить здоровье; вылечить. Руку отремонтировали хорошо. Ничего, в госпитале отремонтируем.
- - ----
ПОЧИНИТЬ –
1. Исправить, сделать пригодным к употреблению. Починить разорванную одежду, крышу, телевизор.
2. Шутл.
Поправить здоровье, вернуть к нормальному состоянию. Починить руку, сердце. Врачи обещали починитьь меня.
3. Разг.
Очинить, зачинить. Починить карандаш.
Ремонтировать - что-то сложное, с достаточно большими трудозатратами. Квартиру, машину.. .
Починить - что-то простое, это делается быстро.
понятно, что во многих случаях это синонимы.
Ну и происхождение разное, как уже верно отметили.
Починить- чтобы работало "как то"; отремонтировать- работало "как задумано", или сделать "лучше чем было".
ре - монтаж ре - монтировать, то есть смонтировать заново. А починить - всё равно что учинить, то есть что то сделать новое. Скажем, конструкцию можно отремонтировать, разобрав и собрав её по частям заново, но ту же конструкцию можно починить - не разбирая, замотав изолентой трещину
Разница в этимологии слов - "ремонт" из фр. языка, а "починка" - общеславянское.
В происхождении.
Когда рыбак поймал первую рыбу, ему говорят: " с ПОЧИНом ! "
Тоесть, с повышением ЧИНа, среди других рыбаков.
//
"отремонтировать" - несёт в себе другое смысловое значение, несвязанное с ЧИНом.
//========/========//
"починить" - буквально, повысить в ЧИНе.
Отремонтировать - более широкий смысл: можно технику, квартиру, и т. д.,
Не знаю, если честно, не задумывался.
Но наверняка ремонт должен быть сделан квалифицированным специалистом, а починка может быть сделана и на дому.