Могу ли я написать заявление об увольнения во время учебного отпуска? и нужно ли будет отрабатывать 2 недели?

Можете. Работник должен предупредить работодателя о расторжении трудового договора не позднее, чем за две недели. В течение срока предупреждения Вы можете быть в отпуске, на больничном и т. п.