Существует ли по России единая служба, в которой можно узнать случалось ли в недавнем прошлом ДТП с конкретной машиной?

Существует. Она называется ГИБДД. У них зафиксированы все ДТП на территории страны - при условии, что они были оформлены с участием ГИБДД.
Но у них не фиксируются ДТП, по которым участники самостоятельно обратились в страховые конторы.
Так же - нигде не фиксируются ДТП, если кто-то из участников скрылся и не был найден, а номер машины неизвестен.
Поэтому - любая база по ДТП будет неполной.