Дело тут не в неограниченной страховке - по ней, и правда, управлять авто может любое лицо при наличии необходимых автодокументов.
Но Вы не владелец авто, у Вас от него доверенность. А при это Вы можете передавать управление только если у Вас нотариальная доверенность с правом передоверия. Причем передоверие так же заверяется нотариально, и владелец авто ставится об этом в известность (см. ГК РФ, ст. 187)
Это по закону. На деле же, как правило, выписывается рукописная доверенность как бы от владельца. Проверить ее на дороге почти невозможно (хотя тут недавно был вопрос именно про то, что обнаружили поддельную рукописку) . Но имейте в виду, что если по вине этого водителя будет ДТП, то будут проблемы со страховщиком.