Можно ли отправлять товары наложенным платежом по почте России, имея Азербайджанский паспорт? И можно ли забирать их тоже

Можно, конечно! Все люди разные, гражданство у них разное, живут эти люди (или временно находятся) в разных странах, и принадлежность человека к определённому государству ни как не ограничивает его возможности совершать почтовые отправления. Ну, к примеру, немец, приехав в Италию, может письмо отправить во Францию? Может. Так и Азербайджанец может из России посылку в Швецию отправить (или куда там нужно отправить?) . Получение посылок тоже будет производиться по данным Вашего Азербайджанского паспорта, извещение о приходе посылки придёт по месту Вашей временной регистрации. Если регистрации нет, почтового реального адреса нет, можно получать почту на почтамте типа "до востребования". Тут никаких проблем нет, кроме того, что Почта России работает очень плохо.