должен ли договор быть заверен натариусом при съеме квартиры

Необязательно. Это нужно в случае, если возникнут проблемы и дело закончится судом. Но ваши подписи при несогласии и так отдадут на экспертизу.

Желательно.
Нотариус заверяет не договор, а подписи под договором.

Желательно заверить, во избежание всяких недоразумений, и еще очень внимательно прочитать весь договор.

Нет. Договор найма простая письменная форма, не подлежит регистрации.

Поэтому все заключают договор на 3 дня короче, чем год.

Покажи свой экземпляр договора в налоговой инспекции и спи спокойно.