Подскажите, как поменять фамилию ребенка на свою, если в браке не состоим, а отцовство установлено.

В дополнение Галины !
Изменение имени и ( или ) фамилии ребёнка, достигшего возраста ДЕСЯТИ ЛЕТ, может быть произведено только с его согласия ( ч. 4 ст. 59 СК РФ ) !

Если отцовство установлено, то только при согласии отца, Обратитесь в орган опеки и попечительства.
п. 2ст. 59 СК РФ - 2. Если родители проживают раздельно и родитель, с которым проживает ребенок, желает присвоить ему свою фамилию, орган опеки и попечительства разрешает этот вопрос в зависимости от интересов ребенка и с учетом мнения другого родителя. Учет мнения родителя не обязателен при невозможности установления его места нахождения, лишении его родительских прав, признании недееспособным, а также в случаях уклонения родителя без уважительных причин от воспитания и содержания ребенка.

Мать имеет право носить с ребенком одинаковую фамилию. Так что имеете право поменять или свою фамилию, или ребенка.

Обратитесь в орган опеки, требуется их разрешение, если отец против. А как Вы его добьетесь, это уже вам решать.