можно ли квартиру на праве социального найма передавать в наследство... вписывать?

можно

Кого и куда Вы собрались "вписывать"?
Институт прописки в России канул в небытие.
Если в квартире были зарегистрированы и проживали члены семьи и бывшие члены семьи, то они там и будут проживать.

В наследство нет, т. к. она на Ваша, а принадлежит муниципалитету. Приватизируйте, а затем распоряжайтесь как хотите.

Регистрировать туда можно, но только родственников.

по наследству нельзя, а зарегистрировать кого-либо можно с согласия всех других проживающих, а несовершеннолетних детей можно зарегистрировать по месту регистрации родителей без чьего бы то ни было согласия