Как доказать, что выражение 7^2n - 1 кратно 4 (n - натуральное число)

Question

Соня Филаткова · Accepted Answer

Семёрка имеет остаток 3 при делении на 4. 
Любая чётная степень - остаток, равный 1 
Т. е. 7^2n=4k+1. Дальше - тривиально. 
-----
Проверим гипотезу для n=1. 7^2-1=48 - делится на 4 
Предположим при некотором n=k, оно тоже делится. 
Докажет, исходя из предыдущего утверждения, что будет делиться и при n=k+1 
(7^(2k+2)-1)-(7^2k-1)=7^2k(7^2-1)=48*7^2k - делится.

Константин · Answer

Можно и по-другому: 7^2n-1=(7^n)^2-1^2=(7^n-1)*(7^n+1) Известно, что 7^n число нечетное, следовательно, (7^n-1) и (7^n+1) числа четные