нужны ли права на квадроцикл более 50 куб. ? какая категория нужна для управления им? со сколльки лет можно получить?

Если есть ПСМ (именно паспорт самоходной машины, а не ПТС) на квадр, то нужны права тракториста-машиниста категории А1. Получить их можно в Гостехнадзоре с 16 лет!
Если ПСМ нет, а есть документ, который подтверждает, что данный квадроцикл является спортинвентарем, то права не нужны. Но и передвигаться на таком квадре можно только по треку или на специально подготовленной трассе/территории, т. к. даже при езде по лесам Вас могут остановить сотрудники Гостехнадзора и потребовать (на законных основаниях) документы на технику. Если их нет - штрафстоянка.
По поводу вод. удостоверений ссылка на сайт Госуслуг, раздел Гостехнадзора - http://sgtn.mos.ru/about/category-tractor/