В предложении "Соловьи поют и солнце светит",перед союзом И нужна запятая?

Посмотрела в интернете правило о написании запятой перед союзом И. Почти на всех сайтах пишут что, запятая перед И ставится в том случае, если это сложное предложение и его можно разделить на два простих. При этом смысл не одного из них не исменится. Например: "Идет дождь, и Оля грустит. "В этом случае запятая ставится, потому что это предложение можно разделить на "Идет дожд. " и "Оля грустит".Смысл не потярян. А если предложение "Вчера шел дождь и Оля грустила",то зарятая не ставится. Если мы разделим предложение на "Вчера шел дождь. " и "Оля грустила",ть смысл второго предложения потярян, т. к. неизвестно когда это было. Следовательно если есть общее слова (в данном случае "вчера"),запятая не ставится.
Согласно этому правилу в предложении "Соловьи поют, и солнце светит",запятая нужна, но у меня все же есть сомнения. Зарянее спасибо.