могут ли уволить на испыт. сроке за его не прохождение? если я не хочу писать заявление по собственному.

Да, могут, на то и испытательный срок. Только они ведь не просто так говорят, чтобы написали заявление. Сравните запись в трудовой: "уволена по собственному желанию" и "не прошла испытательный срок" - для будущего какая лучше?