Доказать, что при
любом n€N число а=n^3+35n делится на 6. (В доказательстве использовать по возможности это. Если эта задача решается другим способом, то напишите его, пожалуйста! )
Большое Вам спасибо за внимание!
a = n^3 + 35n = n(n^2 + 35)
Для того, чтобы число делилось на 6 оно должно одновременно делиться на 2 и 3.
1) Посмотрим, делится ли данное число на 2.
Если n - четное, то n делится на 2, а значит и a = n(n^2 + 35) тоже делится на 2.
Если n - нечетное, то n^2 - тоже нечетное, а n^2 + 35 - четное. Значит n^2 + 35 делится на 2, а значит и a = n(n^2 + 35) тоже делится на 2.
Получаем, что при любом n наше число a делится на 2.
2) Посмотрим, делится ли данное число на 3.
Если n = 3k (то есть делится на 3), то a=3k (9k^2 + 35) - делится на 3.
Если n = 3k + 1 (при делении на 3 дает остаток 1),
то a = (3k + 1) (9k^2 + 6k + 36) = 3 (3k^2 + 2k + 12) (3k + 1) - делится на 3.
Если n = 3k + 2 (при делении на 3 дает остаток 2), то
a = (3k + 2) (9k^2 + 12k + 39) = 3 (3k^2 + 4k + 13) (3k + 2) - делится на 3.
Значит при всех n число а делится на 3.
Мы доказали, что число а делится на 2 и на 3 при любых n (натуральных) , значит при любых натуральных n оно делится на 2*3 = 6.
⇢