Помогите, пожалуйста, доказать методом математической индукции.

i=1 => 1*2^1=2; (1-1)*2^(1+1)+2=0+2=2 - выполняется.

Предположим, выполняется при n. Проверяем, выполняется ли при n+1:

Из правой части:

sum(1,n)=(n-1)*2^(n+1)+2
sum(1,n+1)=n*2^(n+2)+2

Из левой части:

a[n+1]=(n+1)*2^(n+1)

sum(1,n)+a[n+1]=sum(1,n)+(n+1)*2^(n+1) = (n-1)*2^(n+1)+2+(n+1)*2^(n+1)=
=((n-1)+(n+1))*2^(n+1)+2=2n*2^(n+1)+2=n*2^(n+2)+2=sum(1,n+1)

Равенство доказано.