Можно ли при покупке авиабилета на сайте писать имя и фамилию на кириллице?

У российских авиакомпаний можно, но только если указываете данные российского внутреннего паспорта, не заграна.

На тех сайтах, где это делать нельзя, вы просто не сможете продолжить покупку билета, ваши надписи выделятся красным и будет отмечена ошибка в заполнении. Придется исправить, чтобы продолжить.

Но в любом случае система автоматически переводит написанное в латиницу, так как все авиакомпании подключены к международной системе бронирования и там только латиница.