какова зависимость между поясами атмосферного давления и количеством осадков?

Такая связь существует: в областях высокого давления осадков меньше, чем в областях низкого давления (но это в целом, а частности ниже подробнее) .

В основном это происходит благодаря тому, что в воздушных массах с низким давлением преобладают конвективные движения воздуха, которые благоприятсвуют возникновению облаков и осадков, а там, где давление конвекция слабая. Кроме того, в циклонах воздушные потоки направлены к центру (что приводит опять-таки к конвекции и облакообразованию) , а в антициклонах - от центра (что приводит к размытию облачности) . В метеорологии это называется сходимость и расходимость воздушных течений в барических образованиях.
Большинство мест, где количество осадков высокое - это области низкого давления (внутритропическая зона конвергенции или иначе область экваториального климата, западная Колумбия - в этом случае большую роль играет орографический фактор, южное Чили, Дальний Восток России и прочее) . Но есть несколько мест, где давление не связано с количеством осадков, а с орографией либо нахождением в морском климате (Черрапунджи и Гавайские острова) .
Что касается областей высокого давления, то здесь связь тоже не 100%. Так восточные побережья континентов даже в тропическом климате (пояс высокого давления) имеют очень большое количество осадков благодаря муссонным дождям.