КАК правильно сдавать квартиру в аренду?

Это называется договор найма, а не аренды. Его Вы легко найдёте в интернете. Кроме него по сути ничего не нужно.
Прописки в РФ нет, а регистрируются по месту пребывания граждане сами на основании договора найма в УФМС.