влияет ли ставка рефинансирования на процент по вкладу?

В теории, конечно, влиет.
Под величину СР - Центробанк выдает кредиты коммерческим банкам.
Однако, в последние годы это влияние сильно нивелировано. И, в первую очередь, тем., что взять кредит в ЦБ РФ - комбанку очень сложно. Посему, банки и ищут иные источники финансирования. До кризиса - это были: зарубежные банки с очень низкой кредитной ставкой. Сейчас этот источник почти иссяк, вот и ставки по банковским вкладам полезли вверх, разгоняя инфляцию...

в нашей стране - нет

косвенно влияет.
напрямую влияет на доход по вкладу. В РФ доходы по ставке выше ставка рефинансирования + 5 % облагаются налогом в размере 35%.

увеличение ставки означает подорожание кредитов и рост процентов по вкладам