Как называется растение? Если это драцена, то какая и даст ли она корни?

Это драцена компакта (Dracaena 'Compacta'), а укоренять ее надо совсем не так.
Вот я на Вашем фото отметила места разрезов, как бы я разделила на черенки: Это по личному опыту: когда я омолаживала изросшуюся драцену с длинными и некрасиво оголившимися ветками, вот так ее разрезала. Длина стволовых черенков была сантиметров 12-15. На пеньке веточки выше разветвления оставила не более 4-5 см. У верхушечных черенков длина голой части - сантиметров 6-7, больше не нужно. При посадке в землю заглубить до листьев, и пусть растет в виде симпатичной такой розетки. Эта драцена в таком виде и продается обычно - как сидящая в земле розетка, которая со временем вырастет в высоту.
Слишком длинные черенки хуже укореняются.
У меня укоренились все черенки, и верхушечные и стволовые. Причем на стволовых одновременно с образованием корней пошли в рост верхушечные почки, с той же скоростью, что и на пеньке. Лишний "посадочный материал" я раздала коллегам. Вообще, лишнего не должно быть особенно много, так как черенки имеет смысл высаживать в землю не по одному, а штуки по 3 - для пышности. Посадить треугольником, у стенок горшка. Расстояние между ними - сантиметров по 12-15. Верхушечные можно оба в один широкий горшок.

Черенки отлично укореняются в воде в теплом (желательно +23 примерно) и светлом (но не солнечном) месте. Можно добавлять в воду порошок Корневин на кончике ножа, такой раствор менять раз в неделю. По моему опыту, Корневин не ускоряет образование корней, но увеличивает их количество.
Если есть выбор - либо тепло, либо светло, надо выбрать теплое место, а подсветку нетрудно устроить. Я как-то зимой укореняла драцену, подвесив емкость с водой и верхушечными черенками под потолком ванной, в самом теплом месте квартиры, и над ними (заодно и для других живших там растений) с утра до вечера горела длинная люминесцентная лампа подсветки 28 Вт. Укоренились нормально, даже без Корневина.
Стволовые черенки (со срезами внизу и вверху) укореняются тоже хорошо, главное - не перепутать верх и низ, то есть после разрезания сразу поставить в воду.
Что касается пенька с разветвлением - обратите внимание, что обрезать драцену, имеющую несколько побегов, надо на одинаковой высоте. Потому что растение направляет соки в первую очередь к верхним зонам роста. Спящие почки конкурируют между собой, и преимущественно развиваются те, что расположены выше.