Можно ли выполнять трудовую функцию без сохранения заработной платы?

Предупреждать об изменении существенных условий трудового договора, в т. ч. о снижении зарплаты, по ТК надо за 2 месяца.
А вообще, если у работников нет зарплаты, но они числятся в организации, то с налоговыми органами будут большие проблемы, т. к. все сочтут, что они получают черную зарплату.

только если эти функции прописаны в основном трудовом договоре работника (во время отсутствия директора исполнять его обязанности...)

Совершенно незаконно. И конечно же является нарушением ТК РФ!
Теоретически неначисление и невыплата зарплаты грозит организации штрафом в размере от 30 000 до 50 000 руб. Кроме того, трудинспекция обяжет организацию начислить и выплатить зарплату, а также компенсацию за задержку ее выплаты в размере 1/300 ставки рефинансирования ЦБ РФ от задержанной суммы зарплаты за каждый день просрочки. Но при полюбовной невыплате зарплаты риски у работодателя минимальны. Ведь если работник сам не пожалуется в трудинспекцию или прокуратуру, за него этого никто сделать не может.
Конечно, сообщить в трудинспекцию о нарушениях могут и налоговые органы. Но вряд ли они будут сообщать о каждой нулевой отчетности по зарплатным налогам.
Со стороны налогов риски также минимальны, так как, если зарплата реально не начисляется и не выплачивается, доначислить "зарплатные налоги" нельзя. Хотя налоговые органы попытаются начислить взносы и даже НДФЛ, а также пени и штрафы расчетным путем, исходя из МРОТ.
Выход - установить работнику неполное рабочее время. в этом случае зарплата может быть меньше МРОТ.

Рабство в России отменено - а вы хотите оговорить условие, что работать сотрудник будет бесплатно.