Работнику, уволенному в январе 2010 года, неправильно рассчитали компенсацию за неиспользованный отпуск.

Есть Трудовой Кодекс
В нем есть статья 392 в которой сказано, что:

Статья 392. Сроки обращения в суд за разрешением индивидуального трудового спора

"Работник имеет право обратиться в суд за разрешением индивидуального трудового спора в течение трех месяцев со дня, когда он узнал или должен был узнать о нарушении своего права, а по спорам об увольнении - в течение одного месяца со дня вручения ему копии приказа об увольнении либо со дня выдачи трудовой книжки.

Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба.

При пропуске по уважительным причинам сроков, установленных частями первой и второй настоящей статьи, они могут быть восстановлены судом. "

Так что если не было уважительных причин - шансов у него нет, так как срок исковой давности прошел

Если у работника есть на руках подтверждение ошибки - это уже плюс.
Удалить с программ могут, вот только документы по зарплате работника и его отпускам должны храниться 75 ЛЕТ!!!! Пусть организация на морозится (тем более бюджетная, где ведётся точный учёт кадров и всего что с этим связано)
Если же полюбовно не получится - обращайтесь в суд. (Вот для этого нужна распечатка расчётного листа, с неверным расчётом компенсании)
Срока давности по зарплате нет!!!