Могу ля я как предприниматель, зарегистрированный в одном регионе, вести деятельность в другом регионе?

Данные о твоем месте жительства содержатся в Едином государственном реестре индивидуальных предпринимателей (ЕГРИП) . Поэтому если ты переедешь в другой регион и в связи с этим у тебя изменится место жительства, то изменятся и сведения о тебе, содержащиеся в ЕГРИП.
О смене месте жительства предприниматель обязан уведомить регистрирующий (налоговый) орган в течение 3 рабочих дней со дня изменения сведений в ЕГРИП (п. 5 ст. 5 Федерального закона от 08.08.2001 № 129-ФЗ) . Однако пунктом 4 ст. 5 Федерального закона от 08.08.2001 № 129-ФЗ предусмотрено, что в случае изменения сведений о месте жительства индивидуального предпринимателя указанные сведения представляются органами, осуществляющими регистрацию физических лиц по месту жительства, в электронной форме в порядке, установленном Правительством РФ, не позднее 5 рабочих дней со дня регистрации указанных лиц по месту жительства. Регистрацию граждан по месту пребывания или жительства осуществляет Федеральная миграционная служба (постановление Правительства РФ от 13.07.2012 г. № 711) .

Таким образом, при смене месте жительства ты НЕ обязана уведомлять об этом налоговый орган, поскольку сведения о новом месте жительства должна сообщить в налоговый орган Федеральная миграционная служба.

Если ты будешь осуществлять деятельности в другом регионе без смены места жительства, то вставать на учет в налоговом органе по месту осуществления деятельности НЕ нужно, так как подобная обязанность не предусмотрена налоговым законодательством (в частности, ст. 83 Налогового кодекса) . Утверждающие, что встать на учет нужно, пусть сошлются на конкретную норму закона, которая устанавливает такую обязанность.

да, нужно зарегестрироваться по месту ведения деятельности

Нужно.

Можете, только надо зарегистрироваться в налоговой и сдавать отчеты по месту ведения деятельности