Имеют ли право не выдавать зарплату в кассе?

Вопросы выдачи вознаграждения решаются ТК РФ и это является обязанностью работодателя. Но ТК РФ не определяет форму выдачи зарплаты (через кассу или карточку) . Посему необходимо смотреть трудовой и коллективный договор. Если в нем не описан механизм получения зарплаты, то Вы имеете право получать зарплату через кассу предприятия. Если на предприятии имеется приказ о получении зарплаты через банк, то Вы можете обжаловать этот приказ в суде.

РАЗУМЕЕТСЯ.... Вы бухгалтера с кассиром можете посадить. Потому что карты - это дело личное.

Можно отказаться.
...и сразу начинать искать нового работодателя

ну если вы ценный сотрудник - то до увольнения не дойдет.. . Но!
В Трудовом договоре наверняка указаны даты выплат аванса и зарплаты.
При перечислении на карты бухгалтерия делает это 15 числа - к примеру аванс. А при выдаче наличными у нас могут выдать и 25 числа.. . И - вполне законно. В ТД написано: выплатить аванс не позднее 25 числа текущего месяца.. .
Вот и подумайте: оно вам надо? А еще бухгалтер - он ведь тоже человек- может периодически ошибаться в ваших начислениях. Потом вам все возместят! Но - потом.

Имеют ли право не выдавать деньги в кассе предприятия? – Имеют, если это не окончательный расчёт.
Можно ли отказаться от получения этой карты? - можно, получишь приказ об увольнении в связи с нарушением трудовой дисциплины или в связи с утратой доверия. Потом ещё полгода или год не сможешь найти новую, потому что на прежнем месте работы будут говорить о тебе, что ты МУДАК и совершенно неуправляемый дебил. Такие случаи были. Сплошь и рядом. Оно тебе надо? ) Сиди тише воды, работай знай, не выступай! Не будет с тобой никто церемониться и засудить ты никого не сумеешь, скорее у тебя бабло на адвоката закончится, чем ты кого-то там засудишь.