Помогите пожалуйста . Налоговый вычет за обучение.

1. Вычет получает тот, кто производит расходы.
Если договор заключила мама, то и оплату должна произвести она.
Если первый платеж внесли бабушка, то пусть мама просто от руки напишет ей доверенность. Текст типа "Я, (ФИО, паспортные данные мамы), доверяю (ФИО, паспортные данные бабушки) произвести за меня оплату по договору (номер, дата договора об обучении) в сумме (размер суммы) ". Заверять эту доверенность никак не надо: нужно будет её вложить в пакет документов и тогда можно будет учесть этот платеж при расчете суммы вычета.
2. Для получения вычета мама должна работать.
3. Для получения вычета Вы должны обучаться очно и только очно (нужно будет взять справку ВУЗа об этом) и Вам должно быть не больше 24 лет.
Так что смотрите - подходите ли под эти условия.

Кстати, первый семестр оплачивался в каком году?

Мама может получить НВ только за тот период, за который она фактически оплатила. В квитанции к ПКО или в банковском извещении должна быть указана ее фамилия и инициалы. СНВ по расходам на обучение предоставляется только при наличии у образовательного учреждения соответствующей лицензии или иного документа, который подтверждает его статус как учебного заведения. 50 000 рублей в год – максимальная сумма расходов на обучение собственных или подопечных детей, учитываемых при исчислении социального вычета.
Подробнее: п. 2 ст. 219 НК РФ.