ИП меняет место жительства в пределах одного региона (разные инспекции). Вопрос перерегистрации.

Перегистрация в качестве ИП происходит так сказать автоматически: при смене места жительства человек регистрируется в УФМС, УФМС передает данные налоговой инспекции, а та - налоговикам по старому месту учета. После этого новая инспекция на учет ставит, а старая - снимает и пересылает все данные по новому месту учета.
Все: платежи и отчетность идут по новой инспекции.
Кроме того, налоговики должны направить информацию в пенсионный фонд, так что и перерегистрация в ПФ пройдет без Вас (но наведаться туда все же стоит).
Если при этом прекращается деятельность, подпадающая по ЕНВД, то в инспекцию по старому месту учета нужно подать заявление о прекращении регистрации в качестве плательщика ЕНВД.
Отчитаться и уплатить ЕНВД за этот последний квартал можно в старую инспекцию (если Вы делаете это одновременно в подачей заявления о снятии с учета в качестве плательщика ЕНВД) или в новую (если Вы будете это делать сильно после; в последнем случае ОКТМО нужно будет указать старое, а все прочее - новое).

Если у ИП раньше не было УСН, т. е. не подавалось заявлений на УСН раньше, то начать применять этот вид налогообложения будет можно только со следующего года. В таком варианте, действительно, проще ИП закрыть, а потом открыть заново по новому месту учета, одновременно подав заявление на УСН. Правда, телодвижений при этом будет не так уж и мало

проще всего закрыть ИП в одном месте и открыть заново в другом.