Для крутых математиков 2

рассмотрим последовательность заданную рекуррентным соотношением
f(n)=sqrt(1+(n+1)f(n+1)), тогда f(n+1)=(f(n)^2-1) / (n+1)
очевидно этому условию удовлетворяет последовательность f(n)=n+2
пусть f(n)=n+2+g(n), тогда в силу f(n) >= 1, g(n) >= -n-1 > -n-2
тогда g(n) должна удовлетворять условию
g(n) = sqrt(1+(n+1)(n+3+g(n+1)))-n-2
g(n) = sqrt((n+1)g(n+1)+n^2+4n+4)-n-2
отсюда ясно, что g(n) и g(n+1) имеют одинаковый знак, причём
при g(n+1) <= 0: в силу g(n) >= -n-2, (n+1)g(n+1) = g(n)^2+2(n+2)g(n) <= (-n-1)g(n) + 2(n+2)g(n) = (n+3)g(n), тогда g(n) >= g(n+1) (n+1)/(n+3) или |g(n)| <= |g(n+1)| (n+1)/(n+3), откуда |g(1)| <= 2*3/(n (n+1)) |g(n)| <= 2*3*(n+1)/(n (n+1)) = 6/n, то есть 3-6/n <= f(1) <= 3, при n стремящемся к бесконечности получаем f(1)=1
при g(n+1) >= 0: в силу sqrt(a^2+b) <= a+b/(2a) можно доказать, что
g(n) <= g(n+1)/2, откуда 0 <= g(1) <= g(n)/2^(n-1), тогда
3 <= f(1) <= 3+(f(n)-n-2)/2^(n-1)
это выражение стремится к 3 при n стремящемся к бесконечности и фиксированном f(n) (либо f(n) линейно зависящем от n).
чтобы получить другое число в пределе надо действовать с другого конца, то есть по формуле f(n+1)=(f(n)^2-1) / (n+1) начинать например с f(1)=4

n = sqrt (n^2 - 1 + 1)= sqrt (1+(n-1)(n+1))
Можно дальше и не писать) )

P.s. n+1 раскрываем по той же формуле и так далее.. .
P.P.s. искомый результат получается, если начинать собственно с 3