Может ли суд присудить штраф за пересечение двойной сплошной, или только лишение прав?

Какой вопрос - такой ответ. Могут назначить наказание в виде:
1. предупреждения или штрафа 100 рублей;
2. штраф 1000 - 1500 рублей;
3. лишение права управления от 4 до 6 месяцев.

Все зависит от обстоятельств пересечения дорожной разметки, направления движения и т. п. , ну и теперь от сведений содержащихся в протоколе.

Может, если это нарушение было связано в поворотом налево или с разворотом....

доля чего вы делали этот маневр?

Ответственность за выезд на полосу предназначенную для встречного движения предусмотрена ст. 12.15 КоАП РФ. Согласно ч. 4 ст. 12.15 КоАП РФ, Выезд в нарушение Правил дорожного движения на сторону дороги, предназначенную для встречного движения, за исключением случаев, предусмотренных частью 3 настоящей статьи, -влечет лишение права управления транспортными средствами на срок от четырех до шести месяцев.
Александр прав, от себя добавлю, что если вы пересекли двойную сплошную линию с целью объезда препятствия предварительно уступив дорогу встречным транспортным средствам то инспектор ДПС не должен наказывать вас за такое пересечение сплошной и выезд на встречную. Однако если была возможность объехать препятствие с правой стороны, а вы решили, что с левой будет быстрее или проще, то вам придется отвечать по части 3 статьи 12.15 - выезд на встречку, соединенный с объездом препятствия. За такое нарушение положен штраф - от 1000 до 1500 рублей.
ИСТОЧНИК: Официальное разъяснение Заместителя начальника Департамента обеспечения безопасности дорожного движения МВД Владимира Кузина.

Выезд на встречную полосу, связанный с движением навстречу основному потоку - только лишение права управления (12.15-4), штраф не предусмотрен.

Да.