поручитель выплачивает банковский кредит вместо заёмщика. вправе ли он потребовать через суд возмещения расходов с заём

В случае если мы признаем, что поручителя и кредитора связывает самостоятельное правоотношение (т. е. поручитель не участвует в правоотношении между должником и кредитором) , то имеет смысл говорить о том, что право кредитора в отношении должника переходит к поручителю, исполнившему свое обязательство перед кредитором. Причем этот переход составляет случай так называемой "законной цессии" (ст. 387 ГК) . Таким образом, между кредитором и поручителем происходит уступка требования к должнику и поручитель как бы "заступает" в правоотношение между кредитором и должником в качестве нового кредитора.
Именно этот подход к квалификации отношений между поручителем, должником и кредитором представляется максимально точным и именно он господствует в судебной практике (см. , например, постановления ФАС СЗО от 17.10.2005 N А13-16175/04-06; от 17.01.2005 N Ф08-6165/2004).
Однако судебная практика демонстрирует, что суды иногда отклоняются от квалификации основания приобретения поручителем права в отношении должника как законной цессии. Суть альтернативного взгляда может быть описана следующим образом: суды полагают, что поручитель, исполнивший обязательство за должника, приобретает в отношении последнего регрессное требование.
(см. постановление ФАС УО от 15.12.2003 N Ф09-3679/03-ГК).

Да, вправе. Это на языке закона называется регрессными требованиями. Оформляется иск к заемщику, указывается внесенная за него сумма и просьба взыскать эту сумму

Вы вправе предъявить регрессный иск к заемщику после выплаты денежных средств, для этого необходимо написать исковое заявление в суд, предъявить подтверждающие оплату чеки и кредитный договор на основании которого Вы являетесь поручителем.

но то только после выполнения солидарных обязательств

Поручитель, исполнивший обязательства по кредиту вместо заемщика, имеет право подать на него в суд с требованием о возмещении своих расходов.