По какой стороне дороге должен идти пешеход с нагруженной тележкой?

Навстречу транспорту. Вот если он на нее залезит и покатиться на ней с горки, то тогда уже по правой стороне.

4. Обязанности пешеходов
 
4.1. Пешеходы должны двигаться по тротуарам, пешеходным дорожкам, велопешеходным дорожкам, а при их отсутствии - по обочинам. Пешеходы, перевозящие или переносящие громоздкие предметы, а также лица, передвигающиеся в инвалидных колясках, могут двигаться по краю проезжей части, если их движение по тротуарам или обочинам создает помехи для других пешеходов.
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 22.03.2014 N 221, от 24.11.2018 N 1414)
При отсутствии тротуаров, пешеходных дорожек, велопешеходных дорожек или обочин, а также в случае невозможности двигаться по ним пешеходы могут двигаться по велосипедной дорожке или идти в один ряд по краю проезжей части (на дорогах с разделительной полосой - по внешнему краю проезжей части).
(в ред. Постановления Правительства РФ от 22.03.2014 N 221)
При движении по краю проезжей части пешеходы должны идти навстречу движению транспортных средств. Лица, передвигающиеся в инвалидных колясках, ведущие мотоцикл, мопед, велосипед, в этих случаях должны следовать по ходу движения транспортных средств.
(в ред. Постановлений Правительства РФ от 14.12.2005 N 767, от 24.11.2018 N 1414)
При переходе дороги и движении по обочинам или краю проезжей части в темное время суток или в условиях недостаточной видимости пешеходам рекомендуется, а вне населенных пунктов пешеходы обязаны иметь при себе предметы со световозвращающими элементами и обеспечивать видимость этих предметов водителями транспортных средств.
(абзац введен Постановлением Правительства РФ от 14.12.2005 N 767, в ред. Постановления Правительства РФ от 14.11.2014 N 1197)

С тележкой, с сумкой или с рюкзаком - пешеход всё равно остаётся пешеходом.

По левой, если нет тротуара.

Так же как и все пешеходы

в попутном направлении

Правой, правостороннее движение по тротуару, по этикету