На основании каких норм я, как заявитель, могу ознакомиться с текущими материалами проверки по моему заявлению полиции?

Имеете.Согласно Определению Конституционного суда РФ от 29.09.2011 года № 1251-О-О об отказе в принятии к рассмотрению жалобы Н. на нарушение его конституционных прав частью второй ст.145, частью 4 с.148 УПК РФ, ч.5 ст.30 ФЗ «О полиции» и статьей 7 ФЗ «О персональных данных», к ситуациям, связанным к обеспечению доступа лиц, чьи права и свободы затрагиваются решением об отказе в возбуждении уголовного дела, к материалам, на основании которых было вынесено это решение, полностью применима правовая позиция, сформулированная в Постановлении Конституционного Суда РФ от 18.02.2000 года «По делу о проверке конституционности пункта 2 статьи 5 ФЗ «О прокуратуре РФ», в соответствии с которой статья 24 часть 2 Конституции РФ обязывает органы государственной власти и органы местного самоуправления, их должностных лиц обеспечить каждому возможность ознакомления с документами и материалами, непосредственно затрагивающими его права и свободы, если иное не предусмотрено законом. В силу непосредственного действии этой конституционной нормы любая информация, за исключением сведений, содержащих государственную тайну, сведений о частной жизни, а также конфиденциальных сведений, связанных со служебной, коммерческой, профессиональной и изобретательской деятельностью, должна быть доступна гражданину, если собранные документы и материалы затрагивают его права и свободы, а законодатель не предусматривает специальный правовой статус такой информации в соответствии с конституционными принципами, обосновывающими необходимость и соразмерность ее особой защиты.
В соответствии со ст.5 Федерального закона от 02.05.2006 N 59-ФЗ «О порядке рассмотрения обращений граждан Российской Федерации» гражданин имеет право знакомиться с документами и материалами, касающимися рассмотрения обращения, если это не затрагивает права, свободы и законные интересы других лиц и если в указанных документах и материалах не содержатся сведения, составляющие государственную или иную охраняемую федеральным законом тайну.
В соответствии с п.7 ст.5 Федерального закона "О полиции" от 07.02.2011 N 3-ФЗ полиция обязана обеспечить каждому гражданину возможность ознакомления с документами и материалами, непосредственно затрагивающими его права и свободы, если иное не установлено федеральным законом.
Как указано в положении п.9.2 Инструкции «Об организации рассмотрения обращений граждан в системе МВД РФ», утв.Приказом МВД России от 12.09.2013 № 707 гражданину, обращение которого рассматривается в органе внутренних дел, должна быть обеспечена возможность: знакомиться с документами и материалами, касающимися рассмотрения обращения, если это не противоречит законодательству Российской Федерации, не затрагивает права, свободы и законные интересы других лиц и если в указанных документах и материалах не содержатся сведения, составляющие государственную или иную охраняемую законом тайну.

Отказано тебе было по ч.2 ст.24. Только не Конституции, а УПК РФ. Это совсем не одно и то же.
Если дело все-таки будет возбуждено, то, будучи признан потерпевшим по этому делу, ты вправе, на основании ст.42 УПК РФ, знакомиться с материалами дела либо в случае его прекращения, либо в случае окончания - в порядке ст.216 УПК РФ. Других норм для этого не существует.

никаких, разумеется

По окончанию повторного рассмотрения ( вы же сами этого хотели)