Решите задачу по математике 11 класс

y(n) - производная от y порядка n ?

y(n-1)=x
y(n-2)=x^2/2
....
y'=x^(n-1)/(n-1)!
y=x^n/n!

А экзамены нам тоже сдать за тебя ???

(d/dx)^n y = 1
(d/dx)^(n-1) y = x + c1
(d/dx)^(n-2) y = ½·x² + c1·x + c2
***** ***** ***** ***** ***** *****
Общим решением уравнения будет xⁿ/n! + P(n-1,x), где Р - полином степени n-1 от х с любыми коэффициентами. Если коэффициенты полинома взять нулевыми, тогда получится частное решение y = xⁿ/n!
Особый случай когда n = 0, тогда функция у дифференцируется ноль раз и остаётся такой, какой и была. В этом случае решение вообще единственное у = 1

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие функцию y(x) только от одной неизвестной переменной (например, x).

Рассмотрим это на следующих практических примерах.
y′=xy
y″=1
Итак, в первом диффуре присутствует независимая переменная x, неизвестная функция y(x) и производная этой функции y′(x). А во втором случае нет x,y(x),y′(x), а есть только вторая производная функции y″(x). Значит, для того, чтобы уравнение называлось дифференциальным необязательно иметь y(x) и x, а должно быть производная y(x) любого порядка.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной неизвестной функции y(x) в уравнении.

В первом случае максимальная производная первого порядка, значит, и само ДУ первого порядка. А во втором случае уравнение имеет вторую производную y″(x), поэтому это ДУ второго порядка.

Общее решение дифференциального уравнения – это семейство функций y=f(x,C), при подстановке которых в заданное исходное уравнение мы получаем равенство левой и правой части. Здесь C произвольная константа. Процесс нахождения таких решений называется интегрированием дифференциального уравнения.

Частное решение дифференциального уравнения – это решение, полученное из общего решения, путем нахождения константы C из дополнительных условий в задаче.