Решить систему уравнений

Решать не буду - текста много, даю схему:
1) Разделим первое уравнение на второе, получим:
(x³-y³)/(x²y+xy²)=7/6
2) Теперь делим числитель и знаменатель дроби в левой части например на y³
Обозначив x/y=t получаем: (t³-1)/(t²+t)=7/6
3) Получили кубическое уравнение: 6t³-7t²-7t-6=0
Решаем его теми способами, какими умеем: по формулам Кардано, через подстановку Виета или просто поиском рационального корня через перебор делителей свободного члена (последнее - геморрой)
4) Оно имеет единственный действительный корень t=2
5) Возвращаемся к исходным переменным с учетом того, что x=2y

Альтернативный «нечестный» путь aka «justify and угадай».

Сначала легко показываем, что во II и III четвертях плоскости корней быть не может.
Вторым шагом показываем, что минимальный y в IV четверти, удовлетворяющий первому уравнению (-∛7), больше максимального y в IV четверти, удовлетворяющего второму уравнению (-∛24 через вершину параболы по x). Получается в IV четверти корней тоже нет. Осталось искать их в первой.

Первое уравнение всюду задаёт монотонно возрастающую функцию y(x), это очевидно. Второе уравнение ИМЕННО в I четверти задаёт монотонно убывающую функцию (нетрудно показать по определению, решив второе уравнение как квадратное относительно y и взяв нужный из корней). А тогда имеем пересечение монотонно убывающей и монотонно возрастающей функций, а такое, если оно вообще есть, то только одно.

Теперь «угадайкой» находим корень (2, 1) и радуемся, что доказали отсутствие каких бы то ни было других вещественных решений.
На рисунке — иллюстрация решения.

x = 2, y = 1 подходят