Почему Турция поддерживает Азербайджан, если соседничает с Арменией?

Потому что с Азербайджаном у них тоже есть общие границы, общая вера и практически один язык. Во всяком случае я прекрасно понимала в аэропорту все объявления на азербайджанском. С Арменией у них давнее противостояние, Армения была в составе Османской империи, армян считали людьми второго сорта.
В наше время Ереване на некоторых магазинах таблички "турок не обслуживаем".

А вот инфа из Вики:
Отношения между Турцией и Арменией характеризуются как крайне холодные. На это влияют несколько факторов:
-отсутствует дипломатическое представительство между двумя странами из-за предусловий для установления отношений, выдвигаемых со стороны Турции
-Турция блокирует армяно-турецкую границу, в результате чего отсутствует автомобильное и железнодорожное сообщение. Существующий грузопоток между странами проходит в основном через территорию Грузии
-армянская диаспора и Армения продолжают деятельность по признанию геноцида в различных странах мира.
-Турция продолжает отрицать факт геноцида армян в Османской империи. Граждане Турции, которые пытаются поднять этот вопрос для обсуждения, преследуются по 301-й статье Уголовного Кодекса Турции „Оскорбление турецкой идентичности“.

Так исторически сложилось, к тому же у них одна религия.

Не в курсе про религию7

Тюрки помогают тюркам.
Турция как бы неофициально является лидером всего тюркского мира. Мечта президента Турции Рэджепа Эрдогана создать Великий Туран. То есть объединить все тюркские республики под эгидой Турции. Даже Татарстан и Башкирию пантюркисты считают своими землями.
Вот насколько опасна для России идея пантюркизма и конечно давно пора понять, что Эрдоган никакой не друг.