как ускорить выплату страховой компании за ДТП

И по ОСАГО, и по КАСКО есть сроки выплаты, оговоренные Законом об ОСАГО и Правилами ОСАГО и страховым договором КАСКО. Так что если сроки не нарушены, то придраться не к чему. А вот если сроки выплаты прошли, а денег или мотивированного отказа в выплате нет, тогда и надо предпринимать активные действия - жалоба в РСА (по ОСАГО) , в ФССН (по ОСАГО и КАСКО) , если не помогает - судебные разбирательства.
Срок выплаты по ОСАГО - 30 дней с даты принятия страховщиком всех необходимых документов. За просрочку - неустойка. (Правила ОСАГО, п. 70).
Сроки выплаты и санкции за задержку по КАСКО надо смотреть в своем страховом договоре и правилах страхования конкретной СК.

звоните им и шепчите в трубку "Осталось десять днееееей"

А вообще обычно тянут до последнего - быстрее 3-х недель никогда не получалось (это я про ОСАГО)

А никак. Срок у них до 1 месяца после того, как все документы сдашь.

Федеральная служба страхового надзора Вам в помощь.

можно попробовать написать притензию

Надежд, сколько же у тебя надежд!!!! Наверно думаешь, что отремонтируешь свое авто и еще останется на обмывку. Лучше сразу готовся к тому что на 40-50% выплата будет меньше чем ожидаешь. Пока ждешь денег подыскивай оценщика независимого + автоюриста. Потом 4-10 месяцев получишь адекватную оплату.