можно ли провести независимую экспертизу, не дожидаясь экспертизы из страховой компании виновника ДТП?

НУЖНО! Дело в том, что оценка от страховой шарашки ВСЕГДА занижена в разы - может быть и в 10 раз занижена. А чтобы получить нормальную выплату - придется судиться с ними. А для суда нужен акт НЭ.
Сумму СК ОБЯЗАНА сообщить в 3 дня после оценки по письменному требованию. Но они этого обычно не делают - тянут время как можно дольше. Человек устал ждать, машина нужна - он чинит её на свои деньги. А потом получил жалкие копейки - машина отремонтирована, акт НЭ сделать намного сложнее.
Поэтому - после оценки СК надо делать свою НЭ, чтобы сэкономить время. А потом можно и машину чинить - потому что получение денег это процесс долгий.
А дождавшись наконец жалкой выплаты от СК - можно уже на следующий день подавать документы в суд, потому что акт НЭ есть на руках.

Можно, и по опыту могу сказать, что НУЖНО. Бывали случаи, что разница составляла примерно в 2 - 10 раз. Страховая насчитала 8 тысяч (а там только одна деталь стоила 6500), а независимая 87 тысяч насчитала. Так что.. . Нужна справка о ДТП.

...счас можно подавать документы и свою СК.... а так "мальчик" прав... было подобное..

Как мне помнится, МОЖНО, но независимый эксперт обязан пригласить (то есть официально уведомить должным образом) представителя страховой кампании. А те в большинстве случаях просто не приходят. Это уже на Вашу пользу.
Удачи!