На припаркованную мной у работы машину наехал шнекоротор. Муж собственник ТС, но он в море, я в страховке. Что смогу?

Гайцы сами всё оформят.

подать заявление о наступлении страхового случая

право управлять есть. вы в страховке. действия такие же. как при любом ДТП.
Собираете справки из ГАИ и идете в страховую.

Парковаться для начала надо бы научиться и понимать, если валил снег, то его будут убирать.
В старховую обратились? Ждите мужа.

А в страховую вы изначально не обращались? За свой счет что ли сделали НЗ ?

Просто некоторые пострадав в ДТП не обращаются сразу в страховую (мол все равно мало выплатят и т. п. ) и сразу делают за свой счет НЭ. Страховая потом может сказать - мол не вовремя после дтп обратились к нам, либо предложит вам варианты ремонта (знакомы случаи такие) .
А каков смысл то в суд подавать если вы еще выплату не получили ?(из ваших слов я понял что выплату еще не получили) ?
Ладно как зачастую: страховая мало выплатила, делаешь НЭ, подготавливаешь все доки для подачи в суд и ждешь вызова в суд (в течении 3-х месяцев суд обязан рассмотреть ваше дело). В этом типичном случае есть за что зацепится, мол не согласен с размером страховой выплаты, прилагаю результаты независимой экспертизы сделанную за свой счет и т. п.

Если вы вписаны в страховку, оформляйте страховой случай и бегом в страховку .