Придётся ли мне платить страховой компании из своего кармана?

В соответствии с действующим законодательством Вы можете управлять купленным автомобилем в течение 10-ти дней с даты оформления ДКП без оформления ОСАГО (Закон об ОСАГО, ст. 4, п. 2.), но в этот период Вы лично несете полную материальную ответственность за возможные ДТП перед другими участниками дорожного движения. .
Что у Вас и произошло.
А страховка прежнего собственника к новому никакого отношения не имеет, даже если бы Вы были в нее вписаны. Только после переоформления страховки прежнего собственника на нового именно в связи со сменой собственника. Или надо оформлять свою страховку.
Так что у Вас страховки - НЕТ. И никакая СК по ОСАГО ничего потерпевшему не выплатит (только если у него есть свое КАСКО) . И если КАСКО у потерпевшего нет, то он может требовать выплаты ущерба только непосредственно с Вас как с виновника.

Эта расплывчатая формулировка в законе, вряд-ли тебя спасет. По суду всё-равно взыщут

Без страховки ездить нельзя. В течении 10 дней ты обязан был сделать страховку, а не ездить на ней. Естественно, страховая снимет с тебя деньги. И вообще они не обязаны платить за тебя, так как ты не вписан в страховку.

взыщут 100%

Так-то оно так. Конечно, по закону можно оформлять ОСАГО в течение 10 дней после покупки, но по тому же закону садиться за руль, если на тебя не оформлено ОСАГО, ты не имеешь право. Поэтому только лишь за то, что поехал, тебе могут дать административный штраф (странно, что гайцы это не зафиксировали и уже не оформили на тебя бумаги на эту тему) .
По страховой у меня серьезные сомнения, что она что-то заплатит, потому что купля-продажа отменяет действие старого договора на это транспортное средство, а новый еще не заключен. На каком же основании она будет платить?
Так что платить придется лично тебе. Других вариантов я не вижу.

В течении 10 дней Вы обязаны поставить автомашину на учет, а не обязаны страховку переделать. Управлять без страховки запрещено... .
Значит в судебном порядке платить Вам, страховая не будет ничего выплачивать. Все претензии к Вам.

По большому счету, страховая пострадавшему должна отказать в выплате, а потом он сам с тебя должен взыскать сумму ущерба в Судебном порядке.