Подскажите, нужно ли оформлять ОСАГО при постановке авто на учет, если на него уже есть страховка без ограничений

Страховка прежнего собственника для нового не действительна, потому как меняется собственник.
Поэтому надо или переоформить эту страховку на нового владельца в связи со сменой собственника, или новый владелец делает свою страховку, а прежний может вернуть по своей страховке остаток денег за неиспользованный период или перенести этот остаток на новую страховку на свой новый автомобиль.
В Вашем случае - если будет переоформление авто по договору (дарения или купли-продажи) логичнее переоформить страховку - прийти вместе с отцом в свою СК - с паспортами, полисом, договором, подтверждающим смену собственника, ПТС с подписями прежнего и нового собственника - и страховщик сделает перерасчет по данным нового собственника, внесет изменения в базу и выдаст дубликат полиса, в котором Ваш отец будет указан Собственником и который будет действовать весь свой оставшийся срок.
ПС: Если полис будете переоформлять на ограниченный, то нужны права тех, кого нужно вписать в число лиц, допущенных к управлению.

Полис ОСАГО при постановке на учёт должен быть оформлен на ВЛАДЕЛЬЦА авто (!!!) - обязательное условие.
Старый полис прежнего владельца (продавца) не прокатит !

Да, нужно оформлять новый полис, где Ваш отец будет фигурировать, как владелец авто (по договору купли-продажи или дарения). Старый полис можно расторгнуть и вернуть остаток средств.

Можно и не оформлять, если тебя в страховку хозяин впишет и страховку отдаст. Так есть ещё время на страховку когда кончается.

если перерегистрировать на себя авто то нужно новая на себя страховка или без ограничений

тутутутт тутут