Почему стартер на ваз 2106 при повороте ключа щёлкает и не крутит?

Втягивающее и щёлкает, а сам стартер не крутит. Щёки, обмотка, выбирай что больше нравится. Без нагрузки может и прокрутить, а моховик крутануть силёнок не хватает. Ну или как вариант слабый контакт.

Привод (бендикс) не выдвигается до конца.

Масса сгнила. Кузов-двигатель. Обнови все соединения в силовой цепи и зачисти клеммы (шкуркой нельзя)

массу глянь, кузов - коробка

2106 маст дай!

И втулки могут клинить из-за износа.

Потому что силовые контакты НЕ ЗАМЫКАЮТСЯ, либо замыкать НЕЧЕГО!!!

Плохая "масса" на двигателе. Можно прикупить провод и кинуть его на движок от "-" АКБ.
Можно прикупить провод как на фото и тоненький прикрутить к кузову, а толстый к движку.

Напряжения хватает только на втягивающее. а на двиг стартёра не хватает. раз уж АКБ новый, - вероятно напряжение теряется в КОНТАКТЕ. Или масса, или клемма к аккумулятору. Возьми круглый напильник, прочисти клемму провода, смажь и не забывай её периодически чистить.

Может криво встаёт и зубья не попадают в зацепление

Да, такое бывает, когда пара поршней чуть-чуть перед мёртвой точкой и усилия стартера не хватает эту точку преодолеть. В таком случае надо включить вторую передачу и, упираясь в стойку при открытой двери, постараться толкнуть машину, тогда коробка немного провернёт двигатель, дальше уже стартер подхватит легко.

Акб новый и Акб заряженный разные вещи - это раз. Какое реле ты менял?

йопни по нему молотком

клемы затяни