Нужно ли вообще заряжать зарядником аккумулятор или он должен заряжаться от генератора ?

Всё зависит от условий эксплуатации автомобиля и, соответственно, аккумулятора. Тут всё можно рассчитать. Как известно, энергия не берётся из ниоткуда и не уходит вникуда. АКБ, как и всё в этом мире, не идеален и имеет свой внутренний ток саморазряда даже если АКБ не подключен ни к какому потребителю. На старые АКБ была норма в 1 месяц после чего АКБ считался полностью разряженным и требовал полной зарядки. Современные АКБ более совершенны, но, тем не менее, ток саморазряда всё равно существует и пусть не через месяц а через 1.5-2 он всё равно будет разряжен. Плюс к тому если он элементарно в грязном состоянии т. е. клеммы и поверхность аккумулятора в тонком налёте кислоты, пыли или прочей токопроводящей грязи то это тоже является током утечки и так же разрядает аккумулятор. Плюс почти на каждом современном авто есть магнитола, сигнализация, мозги инжектора и всё это тоже потребляет энергию. Мозги инжектора хранят настройки адаптации двигателя, магнитола - настройки радио и аудио режимов, сигнализация даже самая простенькая контролирует радиоэфир в поисках сигнала вашего брелка, а сигналка с обратной связью еще и периодически отправляет в эфир информацию о сработке сигналки и просто об её состоянии. Всё это однозначно жрет электроэнергию с АКБ даже если машина просто на стоянке стоит. Теперь пуск мотора - включаем зажигание - пошло потребление от 10А (на каждом авто своё но не менее 10А почти на каждом) - 5 сек, дальше проворачиваем ключ на стартер - это 190А и более в зависимости от типа мотора, используемого в двигателе, окружающей температуры и т. д. до 500А и по времени пока за стартанет двигатель а это он 3 до 15 сек и после пуска генератор перенимает (по крайней мере должен) всю электронагрузку на себя плюс подзарядка аккумулятора. По нынешнему законодательству мы катаемся с включёнными фарами т. е. потребители в виде 4х ламп по 5Вт на габаритах это 20Вт плюс 2 лампы по 55Вт т. е еще 110Вт плюс всякие подсветки приборки это еще около 10-30Вт в зависимости от авто это уже 160Вт это 160/12=13.33А плюс вышеобозначенные 10А на зажигание это 23.33А Теперь всякие прелести типа музыки в пути - 10А, кондиционер - 10А, подогрев стекла и зеркал - 10А, попогрейка по 10А на 1 сидушку т. е. 20А итого зимой 73.33А. Это безусловно всё приблизительно т. к. разные авто - разные токи и потребители. Генераторы в современных авто имеют обячно максимальную отдачу около 72-90А Тюнингованные до 120А. Но это ток выдаваемый на сркдних и максимальных оборотах, которых в городских условиях почти не бывает. В городе 60% времени поездок мы стоитюм на светофорах на холостых оборотах. На холостых же оборотах генераторы обычно выдают всего лишь 60-70% от заявленного на шильдике т. е. 40-60А. Остальное недополученное, берется с АКБ. Т. е. вместо заряда АКБ в эти моменты разряжается. Безусловно не постоянно включены ропогрейка, обогрев стекол и музыка на всю катушку, но это я показал максимальные нагрузки. Хотя у некоторых такая музыка стоит что там не 10 а все 100А потребляет. Исходя из вышеизложенного, получается на практике даже при среднем использовании электроприборов на заряд АКБ остается порядка 2-3А. При том что чем сильнее разряжен АКБ тем меньше у него внутреннее сопротивление и тем бОльшее напряжение ему нужно дать чтоб организовать нормальный ток заряда. Нормальный ток заряда это 1/10 тока его номинальной ёмкости в течение 10 часов а илеальная щарядка это 20 часов током в 1/20 от его ёмкости т. е. если АКБ ёмкостью 60Ач то при 10 часовом заряде ему нужно организовать ток в 6А а при 20 часовом - 3А. Соответственно если вы катаетесь с момента пуска мотора до его выключения по 20 часов и при том преимущественно по трассе то подзарядка АКБ абсолютно не нужна.

в нормальной жизни - нет. но если у вас карбюраторный ВАЗ, зима и пробки - на холостых аккум садится, может наутро и не завестись.

если разрядился, заряди зарядкой

2 раза в год рекомендуется для поднятия плотности электролита. Гена до 100% не заряжает.

Если поезки на короткие растоянияи или ночью к примеру, то иногда лучше и заряжать дома.

должен заряжаться от генератора

Исправный автомобиль не требует подзарядки АКБ. Исключение: короткие и частые перебежки.
Лично я, за последние 10 лет катаясь ежедневно, ни разу не пользовался зарядным. У меня его просто нет! Правда, гена абсолютно исправен и ни разу не подвёл.

Генератор не заряжает аккумулятор, он его подзаряжает и держит по возможности в рабочем состоянии. Аккумулятор заряжать надо зарядным устройством.

Пофиг чем заряжать.
Зарядкой подзаряжать надо, если ездишь на совсем короткие расстояния,
постоянно глушишь-заводишь, и аккум не успевает зарядиться после разряда
от заводки авто. Если ездишь нормально, то и генератор все нормально заряжает.
Не слушай тех кто бредит что генератор типа не заряжает.
Эти глупцы не в курсе видимо что именно генератор поднимает напряжение в
бортовой сети до 14.4В. Тогда как аккум в спокойном состоянии выдает 12-13В.
Нет необходимости кипятить его зарядником сверх меры.

Если старый можно зярядкой. А если Новый аккумулятор, то он должен быть полностью заряжен и работоспособен, то есть предполагает немедленную установку на автомобиль для начала дальнейшей эксплуатации. Я обычно беру здесь - https://akbmoscow.ru/ . Ну и Перед приобретением необходимо произвести проверку АКБ по ряду параметров:

целостность корпуса;
замер напряжения на выходах;
проверка плотности электролита;
дата изготовления АКБ;