Подскажите пожалуйста, в чем может быть проблема?

Знаешь рабочий период акб? ДВА года. В хороших гаражах, какой бы акб не был, но через 2 года их меняют, так как может в любой момент отказать. А ты что от старика хочешь? )))

Ну вы с соседом вообще коры мочите)
Пока читал, чуть не обоссался от смеха)))
Ставь новый акум, далее к электрику, на этом все, и больше с соседом ни чего не думайте и не куда не пихайте свои рученки.

А самому без мастера и без слесаря, ключом, дверь нельзя открывать?

Зарядил? Пока нёс, разрядился? Я такидумаю что емкости в нем чуть выше ноля и одна банка уже замкнута.

мужик, аккумуляторы в среднем ходят до 5 лет, твоему аж 11(хотя некоторые живут и до 15лет)
касательно заводится и глохнет, смотри давление топлива

Аккум 2009 года???? У них срок службы 5-6 лет, его нужно было выбросить ещё в 2014 году. Купить новый и снова выбросить в 2019-м. Хороший аккум за пару минут не заряжается. В нём ёмкости из 60 Ач осталось наверно не больше 10-15 Ач, а одна банка скорее всего вообще не работает - проседание напряжения и сигнализация не срабатывает. Для стартера хватает всего на несколько секунд, хорошо отлаженный двигатель заведётся, потом просто генератор поддерживает рабочее напряжение.

"Снял, зарядил... но при нажатии не срабатывает" - похоже, да, глюк сигналки. Только уверен, что аккумулятор взял заряд? Сгоняй в любой магазин, где продают аккумы, попроси потестить. Если разряженный аккум постоял на морозе - велика вероятность, что он сдох. Опять же, стоит потестить генератор. У меня была ситуация, когда какой-то заряд на аккум шел (лапочка на приборке еще не горела - заряд же шел), но его было недостаточно для зарядки аккума. Итого - новый аккум. Правда у меня был дизель, может, поведение бензиновой машины будет более предсказуемым. Если ушатал аккум - тем более при покупке нового стоит потестить, чтобы не отправить новый за старым.
Проверь клеммы. Они имеют свойство окисляться (на ЦЗ не должно влиять - наоборот, на стартер не хватит заряда, но периодически смотреть стоит).
Логично, что завести автомобиль требует на порядок больше энергии, чем центральный замок, но это тоже зависит от производителя (от электроники, что у нее на уме). Поэтому лучше начать с теста аккума. А самый простой вариант - поменяйся аккумами с соседом (в идеале поставить такой же по мощности). Как поведет твой аккум у соседа, и соседский у тебя? Уже станет более понятней.