В компетенции ли банка проверить подлинность 2НДФЛ и копии трудовой

Официально-нет. Но у Пети из СБ всегда есть тетя Клава из ИФНС. Вам откажут, причины объяснять они не обязаны. Затем попадаете в черный список, а там... думайте сами. Это не 100% сценарий, но возможный вполне. Каждый банк предлагает обычно заполнить справку по своей форме, Правда, процент будет несколько выше. Однако, пообщайтесь с девочками из отдела кредитования. Тет-а-тет они расскажут вам политику своего банка на этот счет. Может и 2НДФЛ прокатит.

Недооцениваете вы службы безопасности. Проверят действующее ли это пред-е, в справке указывается ИНН ваш, легко отследить ваши отчисления в пенсионный фонд, оплату налогов. Если заметят подделку то поподете сразу в черный список, а такой информацией службы могут по дружески поделиться и с коллегами других банков.

тетя Клава из ИФНС узнает о ваших истиных доходах лишь спустя год, то есть в начале следующего года за предыдущий-при подаче отчетности по НДФЛ предприятием за год! а вот в пенсионном фонде тетя Клава может поднять доход физлица... но по новым правилам только за последние полгода... Другими словами если вы подаете справку в которой доход указан за январь февраль март, то эти данные могут проверить в пфр только по истечении 6 месяцев, опять же когда предприятие сдаст отчет по сотрудникам... .
Законодательных официальных способов проверки у банка кроме как довериться принесенной завереной справки нет.

В компетенции или нет, а найти способ проверить они могут.