Выписку со счета может делать доверенное лицо?

Если доверенность по счету карты нотариальная (на все действия) , то - да.
Если доверенность составлена в банке, то - нет.

Статья 185. Доверенность
1. Доверенностью признается письменное уполномочие, выдаваемое одним лицом другому лицу для представительства перед третьими лицами. Письменное уполномочие на совершение сделки представителем может быть представлено представляемым непосредственно соответствующему третьему лицу.
2. Доверенность на совершение сделок, требующих нотариальной формы, должна быть нотариально удостоверена, за исключением случаев, предусмотренных законом.
3. К нотариально удостоверенным доверенностям приравниваются:
1) доверенности военнослужащих и других лиц, находящихся на излечении в госпиталях, санаториях и других военно-лечебных учреждениях, удостоверенные начальником такого учреждения, его заместителем по медицинской части, старшим или дежурным врачом;
2) доверенности военнослужащих, а в пунктах дислокации воинских частей, соединений, учреждений и военно-учебных заведений, где нет нотариальных контор и других органов, совершающих нотариальные действия, также доверенности рабочих и служащих, членов их семей и членов семей военнослужащих, удостоверенные командиром (начальником) этих части, соединения, учреждения или заведения;
3) доверенности лиц, находящихся в местах лишения свободы, удостоверенные начальником соответствующего места лишения свободы;
4) доверенности совершеннолетних дееспособных граждан, находящихся в учреждениях социальной защиты населения, удостоверенные администрацией этого учреждения или руководителем (его заместителем) соответствующего органа социальной защиты населения.
4. Доверенность на получение заработной платы и иных платежей, связанных с трудовыми отношениями, на получение вознаграждения авторов и изобретателей, пенсий, пособий и стипендий, вкладов граждан в банках и на получение корреспонденции, в том числе денежной и посылочной, может быть удостоверена также организацией, в которой доверитель работает или учится, жилищно-эксплуатационной организацией по месту его жительства и администрацией стационарного лечебного учреждения, в котором он находится на излечении.
Доверенность на получение представителем гражданина его вклада в банке, денежных средств с его банковского счета, адресованной ему корреспонденции в организациях связи, а также на совершение от имени гражданина иных сделок, указанных в абзаце первом настоящего пункта, может быть удостоверена соответствующими банком или организацией связи. Такая доверенность удостоверяется бесплатно.
5. Доверенность от имени юридического лица выдается за подписью его руководителя или иного лица, уполномоченного на это его учредительными документами, с приложением печати этой организации.
Доверенность от имени юридического лица, основанного на государственной или муниципальной собственности, на получение или выдачу денег и других имущественных ценностей должна быть подписана также главным (старшим) бухгалтером этой организации.