Получают ли пособия родители детей, находящихся на домашнем обучении? В каком размере?

Не пособие, а компенсацию, размер зависит от утвержденных нормативов в вашем регионе. Во многих регионах после отмены федерального положения о семейном образовании регионального так и не приняли, например, у нас в Волгоградской области его нет, поэтому все регулируется только положением об экстернате, а это значит, что никакой компенсации родители не получают.
Точно знаю, что в Москве, Питере и Кемеровской области положение о семейном образовании принято и там родители получают компенсацию.
Пройдите по ссылке, на этом сайте собран большой опыт по семейному обучению, много полезной информации и есть форум, где можно задать вопросы http://www.familyeducation.ru/

Первый раз такое слышу. А почему они должны его получать?

нет. если ребенок инвалид- то получают пенсию по инвалидности. если по болезни- то больничный на время ухода за ребенком на период болезни. а других оснований для домашнего обучения нет.

На домашнем обучении могут быть только дети-инвалиды, вроде.
Ребенок получает пенсию по инвалидности. Родителям ничего, только можно эти его деньги ему на нужды использовать.

Родителям, выбравшим семейную форму получения образования несовершеннолетнего ребенка, выплачиваются дополнительные денежные средства в размере затрат на образование каждого ребенка в государственной, муниципальной общеобразовательной школе (п. 8 ст. 40 Закона РФ "Об образовании"). В настоящее время эта сумма составляет около 500 рублей в месяц, хотя в некоторых регионах она несколько выше за счет компенсаций местной администрации.