Могут ли мать лишить прав на ребенка, если она уедет работать на 1 мес. в другой город

Если бабушка отведет ребенка в полицию и скажет, что мать его бросила- ограничат в правах за милую душу.

не могут

Смотря насколько вменяемая бабушка. Вон недавно в Московской области одна мамаша оставила ребенка 1,5лет просто так на улице и свалила в другой город к подружке.
Если ваша бабушка до такого же финта додумается (т. е. бросит ребенка где попало) то неизвестно чем эта история кончится в первую очередь для самого ребенка.

Бабушка против! А с кем ребёнка оставите ???С соседями, ну тогда ждите неприятностей от бабушки . Позвонит в опеку и возникнут у вас проблемы !!!

Теоретически, если бабушка не будет заботиться о ребенке, могут вынести предупреждение или обязать выплатить штраф за ненадлежащее исполнение родительских обязанностей. Но, как правило, из-за такой ерунды органы лишней писаниной заниматься не будут. Устно поругают, скажут, мол, мамаша, прежде договаривайтесь с бабушкой как следует насчет присмотра за ребенком, а потом уже езжайте куда хотите. Ограничить мать в правах и тем более лишить, если это был единственный случай, конечно, не могут.

Даже бабушка не является официальным опекуном. Надо натариально составить доверенность на того с кем собираетесь оставить ребёнка.

Если бабушка не побежит в органы опеки, проблем не будет. А нормальная бабушка все же не станет из-за этого поднимать шум. Но даже если поднимет, сразу прав никого не лишают, особенно за такую ерунду. Скорее всего, просто вызовут потом мать и устно предупредят о последствиях.