Может кто знает или сам сталкивался с этим? Вывоз из страны ребёнка ( третьим лицом — бабушкой)

Враньё!

У вас каша в голове. Ребенок выезжать из РФ будет, очевидно, по паспорту США, иначе его и в самолет не пустят без визы США. А гражданину страны, чтобы вернуться к себе на родину, ничьи разрешения не нужны.

Если ребенок будет выезжать из страны по иностранному документу (по которому въезжал), то никакого разрешения не потребуется (погранцы же не в курсе, что у ребенка есть еще и российское гражданство) Но для этого у ребенка должна быть российская виза.
Если же ребенок будет выезжать по российским документам, то без разрешения его не выпустят.

Во-первых, достаточно согласия одного из родиетелей, то есть, в Вашем случае мать, приехав с ребёнком в РФ, может пойти к нотариусу и оформить согласие на дальнейшие путешествия ребёнка с бабушкой. Во-вторых, согласие совсем не обязательно должно быть оформленным именно у российского нотариуса, так что при оформлении согласия отца сразу пусть впишет и право бабушки на поездки, а по приезде можете пойти с этим документом к переводчику и сделать официальный перевод на русский - этого тоже будет достаточно, так как это будет согласие одного из родителей на поездки ребёнка с бабушкой.

А откуда российская сторона узнает про второе.. российское гражданство? Въезжайте по американскому и по нему же и выезжайте.

Двойное гражданство это два паспорта? Въезжает по одному выезжает по другому

Бред. Зачем ребёнку разрешение на возвращение домой к родителям? Но если хотите быть застрахованной от самоуправства - оформите в стране проживания нотариальное согласие родителей на поездку в Россию в сопровождении бабушки и поставьте на него апостиль.

Так у нго-ж ДВОЙНОЕ гражданство.

Для пересечения границы Рф с матерью от отца не нужно разрешение, и так же наоборот, если родители в зарегистрированном браке и не разведены. На бабок, дедок, тёток нужно от родителей. Но лучше иметь их все и ото всех. Предствьте ситуацию. Тупой сотрудник таможни вас не пропускает ...