Трёхлетний ребёнок настойчиво просится на руки, а я не могу, у меня сегодня рука болит. как ему это объяснить?

Так и объяснить. На самом деле, все он понимает. И прежде всего понимает, что если ему говорят "нет", а он как следует поистерит - то сразу будет "да"
Хотя конечно, он может не понимать, что другому человеку тоже может быть больно или неприятно. Так и объяснять надо, и все равно не идти на поводу

много кратно говорить, что на ручки больше не идем. пока не запомнит и поверит. он еще не понимает, что значит болит у другого человека так долго. ведь у него самого никогда долго ничего не болело. по этому, только продолжать твердить одно и тоже и не брать на ручки. дня три-пять и он перестроится перестанет просить. но если вы все таки продолжаете брать его хоть не на долго на руки - лучше не начинайте уговаривать. ва только пугаете и запутываете его.

детки в этом возрасте прекрасно все понимают, так и объяснить, что болит рука

От рук надо было отучать сразу как начал более-менее ходить. Мама - не лошадь таскать на себе подросшего ребенка. У него такие же полноценные ноги как у вас.
Больная рука хороший повод отучить ездить на ручках совсем. Я иду, братик твой идет, у тебя есть ножки ты тоже идешь. Все.
Если ходите далеко и он устает - берите ему велик, самокат но не таскайте.

Я своей говорила, что дома на ручки будет. А дома, сидя на диване, я не против :)

никак.
сесть и посадить его на колени. обнимать.

Ни детям, ни взрослым НИЧЕГО ОБЬЯСНЯТЬ не надо. Надо действовать. Завязать больную руку бинтом. И когда малыш - кстати - ни фига не малыш - 3 года уже здоровый пацан. И ты ему не мать не отец! Таскать на руках. Присел - обнял здоровой рукой и посидел так некоторое время. Будет орать - взял за руку и отвел к родителям - хоть к отцу, хоть к матери. Это их ОБЯЗАННОСТЬ заниматься детьми - не твоя как старшего брата. И занимайся учебой!

Словами объяснить, эмоционально. Все они понимают в три года и помогают

Пусь истерит, не всегда ж баловать бушь
Поистерит устанет и начнет понимать что к чему

Пусть полечит. Он внимания хочет. Поиграцте в доктора пусть руку щабинтует. Лекарстао принесет... в таком ключе

Урони пару раз и вопрос будет исчерпан

А я не отвечаю тем кто ответы скрывает

Никак! ему 3 года! Просто обнимите его.

Три кота, Щенячий патруль, Малышарики...