Продюсер может писать сценарий (сюжет) или говорить как и про что писать ?

Продюсер, в первую очередь, спонсирует фильм

В "голливудском" производственном процессе -- абсолютно. Это его основная задача, пока он не наймет режиссера.

Первая стадия в предпроизводственном процессе -- разработка (development). До начала разработки продюсер либо покупает опцион на литературную основу фильма (опубликованное литературное произведение или оригинальный сценарий), либо пишет краткий документ, описывающий сюжет и стиль фильма (treatment), сам. Короче, у него есть какой-то исходный документ. Потом он нанимает небольшую группу сценаристов, которая выполняет собственно разработку -- исходный документ превращается в сценарий, который после его завершения начинают показывать ключевым лицам, которых планируется пригласить в производство (режиссерам и актерам, которых хочется видеть в главных ролях). Иногда режиссер, ознакомившись со сценарием, соглашается снять фильм, но оговаривает для себя право переработать сценарий по согласованию с продюсером.

Это в кино. А на телевидении руководитель сценарной группы одновременно является одним из исполнительных продюсеров.

Продюссер занимается финансовыми вопросами и маркетингом. Со сценаристом обычно работает режиссер.

Может, почему нет? Большая часть российских продюсеров уверены, что они лучше сценариста знают, как надо писать сценарий. Результаты можно видеть в "замечательных" российских фильмах.
На Западе если продюсером является крутой деятель - Спилберг, например - он тоже может вмешиваться в работу сценариста, но это происходит нечасто

Когда-то давно продюссер не только контролировал процесс написания сценария и работы над ним, но и указывал режиссёру что и как снимать. Достаточно вспомнить Селзника и его конфликт интересов с Хичкоком. Нынче же многое изменилось, и продюссера интересует только денежный вопрос - как бы поменьше вложить и побольше заработать на картине, и не важно о чём фильм и какого он качества.