Может ли человек, признанный недееспособным, завещать квартиру, заключать договоры, продавать жильё?

Если гражданин признан недееспособным - ни завещать, ни продать свое имущество он не сможет.
От имени и в интересах недееспособного гражданина действует его опекун - ст. 37 ГК РФ.
Если речь идет о какой-либо сделке по отчуждению имущества недееспособного гражданина - такая сделка возможно только с предварительного разрешения органа опеки и попечительства.
Удачи!

недееспособный не может продавать или завещать квартиру
после смерти будет наследование по закону - то есть близкими родственниками

Нет.

Нет.

Статья 171 ГК РФ. Недействительность сделки, совершенной гражданином, признанным недееспособным

1. Ничтожна сделка, совершенная гражданином, признанным недееспособным вследствие психического расстройства.
Каждая из сторон такой сделки обязана возвратить другой все полученное в натуре, а при невозможности возвратить полученное в натуре - возместить его стоимость в деньгах.
Дееспособная сторона обязана, кроме того, возместить другой стороне понесенный ею реальный ущерб, если дееспособная сторона знала или должна была знать о недееспособности другой стороны.
2. В интересах гражданина, признанного недееспособным вследствие психического расстройства, совершенная им сделка может быть по требованию его опекуна признана судом действительной, если она совершена к выгоде этого гражданина.

Распоряжаться будет опекун при согласии органов опеки и попечительства.

нужен опекун. нотариальная доверенность на опекуна.

в общем можно но будет очень не просто.

все гражданско-правовые действия за недееспособного совершает его опекун